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Hintergrundbild: Die Galaxie NGC1300, Aufnahme durch das Hubble Space Teleskope, (c) HST / NASA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Die nächste mathematisch-physikalische Dimension

Jan Rüggeberg

 

Wie viele Räume R(n) hat das Raumzeit-Kontinuum? Diese Frage wird allgemein auch von Fachleuten mit „Eins“ beantwortet, denn schließlich scheint unser Kosmos nur aus einem dreidimensionalen Raum zu bestehen.

Die drei Raumdimensionen (n=3) sind uns geläufig: Länge, Breite und Höhe entsprechen im dreidimensionalen Koordinatensystem den drei Achsen (x, y, z), die laut mathematischer Definition senkrecht (jeweils im Winkel von 90°) aufeinander stehen. Rechtwinklige Räume, wie das Zimmer, in dem man sich womöglich gerade befindet, haben einen Rauminhalt (Volumen in Kubikmeter, [m3]), den man mit Messungen von Länge (Δx) mal Breite (Δy) mal Höhe (Δz) beschreiben und berechnen kann. Zur Festlegung platziert man dabei den Nullpunkt als Ursprung des Koordinatensystems in eine ausgesuchte Ecke des Raumes. Bei Messungen mit einem Zollstock fängt man in dieser Zimmer­ecke an.

Bezüglich der mathematischen Sprünge von der Dimension Null über die Dimensionen Drei und Vier bis zur beliebigen Dimension n sollte man den Artikel „Vier und mehrdimensionale Würfel - Eine mathematische Spielerei“ in unseren Nachrichten, Ausgabe 195 Oktober 2001, zu Grunde legen [ARueter]. Von einem Würfel, der in seinen drei Längen­maßen identisch ist (Δx=Δy=Δz=a), wissen wir, dass dessen Raum (Volumen=a3) immer sechs Flächen (F(3)=6), entsprechend den Zahlenwerten 1 bis 6 auf den Seiten eines Spielwürfels, acht Ecken (E(3)=8) und zwölf Kanten (K(3)=12) hat.

Die Berechnung der Anzahl von Ecken, Kanten, Flächen und Räumen bei „Würfeln“ in n Dimensionen erfolgt nach folgenden mathematischen Formeln [ARueter]:

E(n) =   2n

 

K(n)= n/2   · E(n) =   n    · 2n-1

 

F(n) = (n-1)/4  · K(n) =   n(n-1)/2    · 2n-2

 

R(n) = (n-2)/6  · F(n) =   n(n-1)(n-2)/6    · 2n-3

Dabei ist das Quadrat (n=2), als eine Grundgröße aller mathematisch-physikalischen Berechnungen anzusehen, was im Satz des Pythagoras für rechtwinklige Dreiecke seinen Ausdruck findet (c2=a2+b2). Dieser Satz gilt auch für den Würfel (Kubus, n=3), den Tesserakt (Hyperkubus, n=4) und alle mehrdimensionalen „Würfel“, weil sie durch senkrechte Verschiebung in Kantenlänge des Quadrates aus diesem hervorgehen und alle ihre Seitenflächen gleichartige Quadrate sind.

Beliebig geformte Flächen müssen zur Berechnung ihrer Grundgrößen in Quadrate umgerechnet werden, beliebig geformte Räume oder Körper entsprechend in Würfelform übersetzt werden um z.B. das Volumen zu berechnen. Umgekehrt beschreiben damit Quadrate die Grundgrößen beliebiger zweidimensionaler „Objekte“ (Flächen), Würfel die Grundgrößen beliebiger (dreidimensionaler) Räume und Tesserakte (Hyperkubi) die Grundgrößen beliebiger vierdimensionaler Hyperräume.

Ein Würfel oder ein kubisches Zimmer sind noch recht einfache Dinge, die wir uns vorstellen können. Aber bereits aus der räumlichen Orientierung und der Einbeziehung der perspektivischen Verzerrungen ergeben sich vielfältige Probleme bei der Abbildung: Ein naher Würfel erscheint zum Beispiel größer als ein entfernter und man sieht deren rückwärtige Seiten nicht.

Abb. 1: Perspektive, ohne Spiegel sieht man nicht mehr als drei von sechs Seiten eines Würfels gleichzeitig. Abstand und scheinbare Größe hängen zusammen. Die schräg angesehenen quadratischen Seiten erscheinen rautenförmig verzerrt. (c) Jan Rüggeberg 2002

 

 

 

 

Schräg angesehene Seiten erscheinen rautenförmig verzerrt; und nur bei direkter Ansicht einer Würfelseite sieht diese tatsächlich quadratisch aus. Um überhaupt einen „räumlichen Eindruck“ bekommen zu können, benötigen wir unbedingt zwei Augen und nicht nur eines. Die kleinen Unterschiede der zwei Bilder in den Augen werden vom Gehirn als verschiedene Entfernun­gen der betrachteten Gegenstände erkannt.

Der nächtliche Sternenhimmel wirkt für uns wie eine abge­flachte Kuppel, wobei der räumliche Eindruck aller Gestirne leider völlig fehlt. Und selbst in der Nähe gibt es Probleme: Wir erkennen die Erde nicht als Kugel, uns erscheint sie völlig flach! Im Gegensatz dazu schei­nen gerade Eisenbahnschienen gekrümmt zu sein, oder wie sonst könnte es so aussehen, als ob sie sich jeweils am Horizont vereinigen würden, während sie in unserer Nähe tatsächlich doch zwei Schritte weit auseinander liegen! Wir erkennen daran, dass wir bereits mit der Erfassung der dreidimensionalen Phänomene unsere großen Schwierigkeiten haben. Ein Beispiel dafür, wie Kinder dies aber erst lernen müssen, haben wir in den Märchen-Geschichten etwa von „Jim Knopf und Lukas dem Lokomotivführer“: Dort hat der gewaltige Scheinriese am Horizont bei dessen Annäherung schließlich eine eher mickrige Gestalt, wenn er neben Jim Knopf steht. In Wirklichkeit sind uns diese Probleme nur deshalb nicht bewusst, weil wir uns hieran von Geburt an gewöhnt haben.

 

Doch wie sieht es weiterhin mit den Überlegungen da­rüber aus, dass unser Universum mehr als nur drei Dimensionen beinhalte: - die nächste Dimension! Ein direkter „räumlicher Eindruck“ davon ist völlig auszuschließen! Gleichwohl gibt es eine große Anzahl an Indizien dafür, dass es sie dennoch gibt:

 

* Nehmen wir beispielsweise einen Würfel und rollen ihn über den Tisch: Danach liegt er mit seinem Volumen ganz woanders - scheinbar nichts Unge­wöhnliches in unserer Umgebung. Doch ein völlig statischer und damit unbeweglicher Weltraum ließe selbst diese einfache Veränderung eigentlich nicht zu! Die ständige Veränderung in einer weiteren Dimen­sion, die diese gerichtete Verschiebung ermöglicht, nennen wir den Ablauf der Zeit. Dabei ist die ent­sprechende Koordinate, die Zeitachse mit fast allem was zu ihr gehört, für uns unsichtbar: Denn wir kön­nen tatsächlich nur den vorübergehenden Würfel mit seinen momentanen Zahlen sehen. Beim nächsten Würfeln sieht er wieder anders aus und liegt wieder woanders. Bei unserer ständigen Reise über die Zeit­achse ist nur die unablässig wandernde Gegenwart sichtbar - ein unmessbar kurzer Abschnitt auf der Zeitachse - und nicht mehr.

 

* Im Großen lehrt uns die Allgemeine Relativitäts­theorie, dass die Schwerkraft, die uns z.B. auf dem Erdboden hält, auf Raumkrümmung beruht. Doch der Trichter, der durch die Erdkugel entsteht, ist für uns völlig unsichtbar, denn seine Senke hat weder Höhe, Breite noch Länge im dreidimensionalen Raum.

 

* Im ganz Großen müssen wir feststellen, dass es nachts abgesehen von den Gestirnen dunkel wird (Olbers´ Paradoxon): Heute wissen wir, dass dies ein Zeichen für die Begrenztheit des Kosmos und eine Endlichkeit seines Rauminhaltes ist. Doch was liegt dann „außerhalb“?

 

* Im ganz Kleinen stoßen wir an eine weitere Grenze: Selbst das vierdimensionale Raumzeit-Kontinuum nach Minkowski und Einstein mit seiner Theorie über Raum und Zeit ist eigentlich völlig leer und ent­hält keinen „Platz“ für die „Dicke des Teppichs“ in den die Materie aus unserer Natur und Umgebung eingewebt zu sein scheint. Gehen wir von der Quanten­theorie nach Planck, Heisenberg (und an­deren) aus, so findet sich, untergeordnet unter die Theorie über die Starke Kernkraft, im Inneren der Kernteilchen der Atomkerne eine seltsame Wechsel­wirkung, die mit der Theorie der Chromodynamik be­schrieben wurde: Protonen und Neutronen in Atom­kernen bestehen danach aus jeweils drei Quarks, die über besondere Feldteilchen, die Gluonen, wechsel­wirken sollen. Dass diese physikalische Wechsel­wirkung wie bei angespannten Gummibändern mit dem Abstand zunehmen soll, ist mit einem allseits of­fenen dreidimensionalen Raum eigentlich unver­einbar: Im ganz Kleinen ist damit das „Innere“ dieser „Gummibänder“ für uns genauso unfasslich, wie im Großen die unsichtbaren Teile der Zeitachse, Vergan­genheit und Zukunft genannt, oder im ganz Großen die Grenzen unseres Kosmos.

 

(c) Jan Rüggeberg 2005) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nach Kaluza und Klein (1926) sollen es sogar fünf Dimen­sionen sein, die am Raumzeit-Kontinuum be­teiligt sind. Moderne Theorien (nach Green und Schwarz) gehen schließlich von 10 bis 11 Dimensio­nen aus, die als Grund­lagen des Universums in Frage kommen. Doch der­artige Hypothesen sind zwar mathe­matisch berechenbar, die menschliche Auffassungsgabe in Form eines „räum­lichen Eindrucks“ ist damit jedoch hoffnungslos über­fordert. Man kann sich aber mehr­dimensionale Gebilde vor Auge führen indem man sie aufklappt wie ein Paket:

 

 

 

Abb. 2: Würfel, das Aufklappen der sechs Seiten (Zeichnungen des Autors (c) Jan Rüggeberg 2002)

 

Fangen wir dabei mit einem einfachen Würfel an. Wenn man ihn auspackt, dann werden die sechs Seiten, die den würfelförmigen Raum begrenzen, auf einer Ebene ausgebreitet. Im Gegensatz zu einer dimensions­reduzierten Darstellung, bei der nur unterschiedlich geformte Querschnitte eines Würfels sichtbar werden, bleiben dabei die Flächen erhalten; und Ecken und Kanten sind zumindest noch an den Knickstellen er­kennbar, wenn sie nicht am Rande der Fläche liegen. Der wie ein Packet aufgeklappte Würfel ergibt dabei aber einen kreuzförmigen Umriss, der dem 6-teiligen Grundriss einer Kirche ähnelt: Drei Quadrate bilden das Kirchenschiff in dessen Verlängerung sich viertens das Quadrat mit dem Altar befindet, während sich rechts und links die Quadrate der Seitenschiffe befinden.

Ein vierdimensionaler „Würfel“ (Tesserakt) ist im Ge­gen­satz zu einem einfachen, dreidimensionalen Wür­fel für uns nicht vorstellbar. Dennoch ist berechenbar, dass ein derartiges Gebilde 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Flächen, 8 Räume und einen vierdimensionalen Hyper­raum hat. ((c) Jan Rüggeberg 2005)

Abb. 3: Tesserakt, seine acht Räume nach dem „Aufklappen“. Oben zum Vergleich der aufgeklappte Würfel. ( (c) Jan Rüggeberg 2002)

 

Wir können daraus ablesen, dass allen vierdimensiona­len Gebilden immerhin 8 dreidimensionale Räume zu Grunde liegen. Wenn wir nun einen Tesserakt wie ein Paket aufklappen, dann werden die Räume mit einem zusammenhängenden „räumlichen Eindruck“ erfahrbar: Drei würfelförmige Räume bilden dann das Kirchen­schiff, in dessen Verlängerung sich viertens der Altar­raum befindet, während seitlich rechts und links noch zwei Würfel die Seitenschiffe darstellen. Weiterhin finden sich noch zwei Würfel oberhalb und unterhalb, nämlich der Kuppelraum und die Krypta.

Da das Raumzeit-Kontinuum vierdimensional sein soll, müsste demnach die Frage nach der Anzahl der es umgebenden Räume mit „Acht“ beantwortet werden. Einsteins angebliche Behauptung „Gott würfelt nicht!“ könnte man damit weiterführen mit: „Er würfelt nicht, weil er vielleicht einen Tesserakt benutzt!“

Eine mögliche Krümmung von Flächen oder Räumen wirkt zwar vereinfachend aber auch verschleiernd: Denn rundet man einen Würfel zur Kugel ab, dann entsteht eine grenzenlose Fläche ohne Ecken und Kanten. Doch es ist uns schon fast unmöglich vorzustellen, dass die Leute in Neuseeland auf dem Kopf stehen. Und wir reden von vier Himmelsrichtungen (Norden, Süden, Osten, Westen) obwohl es eigentlich sechs sind!

Vielleicht sind die verschiedenen Phänomene unseres Kosmos, die bisher nur mit vielen zusätzlichen Dimensionen erklärt werden, nicht wie bisher angenommen mit unterschied­lichen Koordinaten verknüpft, sondern nur mit einer einzigen weiteren aber mit mehreren Räumen. Und bevor wir nach einem fünf- oder mehrdimensionalen Superraum suchen, der einem vierdimensionalen Hyper­raum übergeordnet sei, sollte man zuerst einmal die für uns bisher unsichtbaren „sieben anderen Räume“ des Raumzeit-Kontinuums erforschen und die unbekannte Orien­tierung und Einbeziehung der perspektivischen Verzer­rungen unseres dreidimensionalen Kosmos darin zu erkennen versuchen.

(c) Jan Rüggeberg 2005